www.cakal.net Forumları YabadabaDuuuee - Açıortay

ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI

1. Açıortay

Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.22.gif Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB| AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.23.gif 2. İç Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.24.gif olur .....(1) http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.25.gif
ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.24.gif olur .....(2) http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.26.gif [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.27.gif olur
ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
http://www.matematikci.org/oss/geome.../geoka0601.gif Buradan http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.28.gif ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir. http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.29.gif 3. İç Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.30.gif http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.31.gif 4. Dış Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.32.gif http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.33.gif 5. Dış Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n'A dersek
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.34.gif http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.35.gif 6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
m(DAE)=90°

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.36.gif
ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.

[DA] ^[AE]

Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.

P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.37.gif

ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI

1. Ağırlık Merkezi

Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.38.gif
a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.39.gif
eşitlikleri vardır.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.40.gif

b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.41.gif
c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.42.gif
d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.43.gif
e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.44.gif 2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD|
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.45.gif 3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar

****enarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.46.gif
b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.47.gif
c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.48.gif
4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.49.gif
K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
[FE] //[BC] 2[FE]=[BC]
a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.50.gif
b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.51.gif
5. Kenarortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.52.gif Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.53.gif
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.54.gif
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.55.gif

6. Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.56.gif http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_6.57.gif